Ответы к § 23 - А.Г. Мордкович, 9 класс.


Не забудь поделиться с друзьями:

1. Определите, является ли приведённая ниже последовательность арифметической прогрессией:
а) 13, 10, 7, 4, 1, -2, …;
б) 3, 0, -3, -6, -8, …;
в) 3, 1, 3, 1, 3, 1, …;
г) -7, -5, -3, -1, 1, ….
Ответы к § 23


2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:
а) 3, -1, -5, -9, …;
б) 7, 4, 1, -2, …;
в) 0,7, 0,9, 1,1, 1,3, …;
г) -1, -0,9, -0,8, -0,7, ….
Ответы к § 23


3. Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (An), если:
а) А1 = 3, d = 7;
б) А1 = 10, d = -2,5;
в) А1 = -21, d = 3;
г) А1 = -17,5, d = -0,5.
Ответы к § 23


4. Запишите конечную арифметическую прогрессию (An), заданную следующими условиями:
а) А1 = -2, d = 4, п = 5;
б) А1 = 1, d = -0,1, п = 7;
в) А1 = 2, d = 3, п = 6;
г) А1 = -6, d = 1,5, п = 4.
Ответы к § 23


5. Найдите разность и десятый член арифметической прогрессии:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


6. а) Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
б) Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, кратных 11. Докажите, что она является арифметической прогрессией; укажите первый член и разность прогрессии.
Ответы к § 23


7. Выясните, является ли арифметической прогрессией последовательность (Xn), заданная формулой п-го члена. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
Ответы к § 23

Ответы к § 23


8. Докажите, что последовательность (An) является арифметической прогрессией, и найдите разность прогрессии:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


9. Зная формулу п-го члена арифметической прогрессии (An), найдите A1 и d:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


10. Составьте формулу п-го члена арифметической прогрессии:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


11. Дана арифметическая прогрессия (An). Вычислите:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


12. Найдите разность арифметической прогрессии (An), если:
а) А1 = 12, А5 = 40;
б) А1 = -3, А15 = 53;
в) А1 = -8, А11 = -28;
г) А1 = 2,5, А10 = -3,5.
Ответы к § 23


13. Найдите первый член арифметической прогрессии (An), если:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


14. Дана конечная арифметическая прогрессия (An). НайдитеAn, если:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


15. Дана конечная арифметическая прогрессия (An). Найдите A1, если:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


16. Дана конечная арифметическая прогрессия (An). Найдите d, если:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


17. Дана конечная арифметическая прогрессия (An). Найдите п, если:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


18. Докажите, что для любой арифметической прогрессии справедливо соотношение:
а) А13 – А3 = 10d;
б) An+10 – A10 = nd;
в) Аn+23 – An = 23d;
г) An – Am = (n – m)d.
Ответы к § 23


19. Найдите разность арифметической прогрессии (An), если:
а) А6 = -30, А16 = 30;
б) А11 = 4,6, А36 = 54,6;
в) А3 = -12, А14 = -67;
г) А7 = 1,5, А12 = -9.
Ответы к § 23


20. Проверьте:
а) является ли число 4,5 членом арифметической прогрессии -1,5, -1, -0,5, …;
б) является ли число 43,5 членом арифметической прогрессии 7,5, 11, 14,5, ….
Ответы к § 23


21. а) является ли число 41 членом арифметической прогрессии (An), у которой A1 = -7, d = 4;
б) является ли число -33 членом арифметической прогрессии (An), у которой A1 = 3, d = -6.
Ответы к § 23


22. а) Между числами 15 и 23 вставьте число таким образом, чтобы получившиеся три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии.
б) Между числами 16 и 28 вставьте число таким образом, чтобы получившиеся три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии.
Ответы к § 23


23. а) Между числами -8 и -35 вставили два числа так, что получились четыре последовательных члена арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии.
б) Между числами -6 и -15 вставили два числа так, что получились четыре последовательных члена арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии.

24. Является ли число b членом заданной арифметической прогрессии (An)? Если да, то укажите номер этого члена.
а) А1 = 5, d = 0,3, b = 21,2;
б) А1 = 3, d = -0,35, b = 0,65;
в) А1 = -7, d = 5,1, b = 44;
г) А1 = -0,13, d = 0,02, b = -0,01.
Ответы к § 23


25. Является ли число b членом заданной арифметической прогрессии (An)? Если да, то укажите номер этого члена.
а) An = 13 – 0,4n, b = 4,6;
б) An = 3n – 5,7, b = 69,4;
в) An = 5n – 104, b = 21;
г) An = 21,3 – 1,7n, b = 4,3.
Ответы к § 23


26. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии (An) будут меньше заданного числа А:
а) 2, 1,9, 1,8, 1,7, …, А = 0;
б) 15,9, 15,5, 15,1, …, А = 0,9;
в) 110, 100, 90, …, А = 15;
г) -1, -1,75, -2,5, …, А = -16,3.
Ответы к § 23


27. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии (An) будут больше заданного числа А:
а) A1 = -12, d = 3, A = 141;
б) A1 = 4, d = 2,2, A = 14,7;
в) A1 = -4,5, d = 5,5, A = 0;
г) A1 = 14,5, d = 0,7, A = 22,9.
Ответы к § 23


28. Арифметическая прогрессия задана формулой An = 6п – 306. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены прогрессии:
а) больше -12;
б) являются положительными;
в) принадлежат лучу [300; +∞]
г) принадлежат открытому лучу (-6; +∞).
Ответы к § 23


29. Зная формулу п-го члена арифметической прогрессии (An), найдите A1 и d:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


30. Составьте формулу п-го члена арифметической прогрессии (An), если:
а) А5 = 15, А12 = 29;
б) А9 = -30, А19 = -45;
в) А7 = 20, А15 = 40;
г) А5 = 0,2, А16 = -7,5.
Ответы к § 23


31. Напишите формулу п-го члена арифметической прогрессии, если:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


32. Напишите формулу п-го члена арифметической прогрессии, если:
Ответы к § 23

Ответы к § 23

Ответы к § 23


33. Напишите формулу п-го члена арифметической прогрессии, если:
Ответы к § 23

Ответы к § 23

Ответы к § 23


34. а) В арифметической прогрессии 46, 41, … найдите наименьший положительный член и его номер.
б) В арифметической прогрессии -37, -29, … найдите наибольший отрицательный член и его номер.
Ответы к § 23


35. При каких значениях разности арифметической прогрессии, первый член которой равен -135, первые десять её членов отрицательные, а одиннадцатый член – положительное число?
Ответы к § 23


36. а) Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение второго и четвёртого её членов равно 45. Найдите шестой член этой прогрессии.
б) Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 18, а произведение второго и третьего её членов равно 21. Запишите первые пять членов этой прогрессии, если известно, что третий её член – положительное число.
Ответы к § 23


37. Четыре числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма первых трёх равна -21, а сумма трёх последних чисел равна -6. Найдите эти числа.
Ответы к § 23


38. Найдите сумму Sn членов конечной арифметической прогрессии (An), если известны первый и последний её члены:
а) А1 = -1, А30 = 86;
б) А1 = 41, А20 = -16;
в) А1 = -13, А10 = -5;
г) А1 = 17, А25 = 31.
Ответы к § 23


39. Найдите сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (An), если известно, что:
а) А1 = 2, А50 = 147;
б) А1 = 0,5, А50 = -97,5;
в) А1 = -10, А50 = 137;
г) А1 = -1,7, А50 = -8,1.
Ответы к § 23


40. Найдите сумму первых п членов арифметической прогрессии (An), если известно, что:
а) А1 = -3, d = 1,5, n = 16;
б) А1= 121, d = -3,1, n = 25;
в) А1= -2,5, d = -0,5, n = 40;
г) А1 = 4,5, d = 0,4, n = 100.
Ответы к § 23


41. Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии (An), заданной формулой п-го члена:
а) An = 4n + 3;
б) An = 0,5n – 3;
в) An = -2n + 8;
г) An = -2,5n – 6.
Ответы к § 23


42. Найдите сумму последних десяти членов конечной арифметической прогрессии, если:
а) А1 = 7, d = 2,5, n = 25;
б) А1 = -3, d = 0,2, n = 51;
в) А1 = 17, d = -1,3, n = 17;
г) А1= -19, d = 2, n = 553.
Ответы к § 23


43. Дана конечная арифметическая прогрессия (An), у которой А1 = -2, d = 7,5, n = 50. Найдите сумму всех членов этой прогрессии:
а) с чётными номерами;
б) номера которых при делении на 4 дают в остатке 3.
Ответы к § 23


44. Дана конечная арифметическая прогрессия (An), у которой A1 = 7, d = -2,5, n = 57. Найдите сумму всех членов этой прогрессии:
а) с нечётными номерами;
б) номера которых при делении на 5 дают в остатке 2.
Ответы к § 23


45. а) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 7.
б) Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.
Ответы к § 23


46. а) найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 8.
б) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении на 12 дают в остатке 5.
Ответы к § 23


47. Дана арифметическая прогрессия (An):
а) Зная, что А11 + А13 = 122, найдите А12;
б) Зная, что А19 = 5, найдите А18 + А20;
в) Зная, что А15 + А17 = -2, найдите А16;
г) зная, что А7 = 4, найдите А6 + А8.
Ответы к § 23


48. Дана арифметическая прогрессия (An):
а) Зная, что А1 + А20 = 64, найдите А2 + А19;
б) Зная, что А3 + А17 = -40, найдите А1 + А19;
в) Зная, что А2 + А15 = 25, найдите А1 + А16;
г) Зная, что А1 + А25 = -10, найдите А10 + А16.
Ответы к § 23


49. Дана арифметическая прогрессия (An):
а) Найдите А10 + А20, если известно, что А9 + А11 = 44 и А19 + А21 = 104.
б) Найдите А15 + А30, если известно, что А14 + А16 = -20 и А29 + А31 = 40.
Ответы к § 23


50. а) Найдите те значения х, при которых числа х, 2х – 1,5х являются последовательными членами арифметической прогрессии.
б) Найдите те значения у, при которых числа 2у + 5, у, 3у – 8 являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Ответы к § 23


51. Найдите те значения х, при которых данные числа в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


52. Найдите сумму всех таких значений числа х, при которых числа
Ответы к § 23

Ответы к § 23

53. а) В конечной арифметической прогрессии А1 = 0,2, d = 0,7, n = 49. Найдите все целочисленные члены этой прогрессии, если они существуют. Сколько их?
б) В конечной арифметической прогрессии А1 = 0,15, d = 0,35, n = 60. Найдите все целочисленные члены этой прогрессии, если они существуют. Сколько их?
Ответы к § 23


54. Найдите наименьшее число, являющееся общим членом двух прогрессий An = 5п – 3 и An = 17п + 14.
Ответы к § 23


55. Найдите наименьшее положительное значение разности двух чисел, являющихся одновременно членами прогрессий An = 101п – 15 и An = 13п + 14.
Ответы к § 23


56. Даны две арифметические прогрессии (An) и (Bn), все члены каждой из которых различны. Известно, что А1 = В2 = 2 и А5 = В6 – 8, а разность прогрессии (An) в 2 раза меньше разности прогрессии (Bn). Сколько членов прогрессии (An) содержится среди первых 35 членов прогрессии (Bn)?
Ответы к § 23


57. Найдите наименьший и наибольший общие члены арифметических прогрессий (An) и (Bn) таких, что А10 = В21 = 112, разности этих прогрессий соответственно равны Da = 14, Db =35, в прогрессии (An) 200 членов, а в прогрессии (Bn) 300 членов.
Ответы к § 23


58. а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 7 и не делятся на 13.
б) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые не делятся ни на 7, ни на 13.
Ответы к § 23


59. При делении девятого члена арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой в частном получается 2, а в остатке 5. Найдите первый член и разность прогрессии.
Ответы к § 23


60. Сумма цифр четырёхзначного числа равна 16. Найдите это число, если известно, что его цифры образуют арифметическую прогрессию и цифра единиц на 4 больше цифры сотен.
Ответы к § 23


61. Числа -100 и -78 являются соответственно седьмым и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии и сумму её первых двадцати членов.
Ответы к § 23


62. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах – одно штрафное очко, за каждый последующий – на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
Ответы к § 23


63. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день – на 5 капель больше, чем в предыдущий. Дойдя до нормы 40 капель в день, он 3 дня пьёт по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 5 капель, доведя его до пяти капель в последний день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 200 капель)?
Ответы к § 23


64. Улитка ползёт вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м?
Ответы к § 23


65. Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м?
Ответы к § 23


66. Докажите, что если числа 1/a, 1/b, 1/c в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то верно равенство:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


67. Докажите, что если числа 1/a+b, 1/a+c, 1/c+b в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то числа a^2, b^2, c^2, также образуют конечную арифметическую прогрессию.
Ответы к § 23


68. Решите уравнение:
Ответы к § 23

Ответы к § 23


69. Найдите произведение корней многочлена
Ответы к § 23

Ответы к § 23


70. Решите уравнение
Ответы к § 23

Ответы к § 23


71.
Ответы к § 23

Ответы к § 23


72. При каком значении параметра а уравнение x^3-6x^2+9x-a=0 имеет три различных корня, которые в некотором порядке образуют арифметическую прогрессию? Найдите эти корни
Ответы к § 23


73. От перекрёстка расходятся три дороги под углом 120° друг к другу. Три пешехода одновременно вышли с перекрёстка и стали двигаться с постоянной скоростью каждый. Значения скорости пешеходов образуют арифметическую прогрессию. Через 2 ч пути расстояние между самым медленным и самым быстрым пешеходами составило 15,8745 км, а между самым медленным и третьим пешеходом -13,0764 км. Найдите скорость движения каждого пешехода.
Ответы к § 23


74. Железная дорога за простой вагонов под разгрузкой в первый день берёт с предприятия 400 у.е., а в каждый последующий – на 300 у.е. больше, чем в предыдущий. Бригада грузчиков может разгрузить вагоны за 10 дней. Если бригада разгрузит вагоны раньше срока, то за каждый сэкономленный день она получит премию 2350 у.е. При каком сроке разгрузки затраты предприятия на оплату простоя вагонов и на премию грузчикам будут минимальными?
Ответы к § 23


75. Две землеройные машины разных конструкций роют навстречу друг другу тоннель длиной 30 м. Для первой машины стоимость проходки первого метра равна 150 у.е., а каждого последующего метра на 90 у.е. больше предыдущего. Стоимость проходки каждого метра второй машиной одинакова и равна 1275 у.е. Сколько метров должна прорыть каждая из этих машин, чтобы стоимость работ была минимальной?
Ответы к § 23